БИЛЕТ 50. Т. Лапласа. Разложение определителя по строке (столбцу). Вторая точка зрения на определитель (индуктивное определение).
Т. (разложение опеределителя по строке)
Определитель матрицы равен сумме произведений элементов одной любой строки на их алгебраически дополнения
det(A) = Sum[j=1..n]((-1)^(i+j)a[ij]M[ij]
Док-во:
по сути следствие из предыдущего билета. По индукции лишь требуется доказать, что этих членов ровно n!
Т. Лапласа
Сумма произведений миноров, стоящих в фиксированных k строках матрицы на их алгебраические дополнения равна определителю
Док-во:
обобщение предыдущей теоремы + следствие из предыдущего билета
Индуктивное определение:
det(A) = Sum[j=1..n]((-1)^(1+j)a[1,j]M[1,j])