БИЛЕТ 39. Понятие строчечного и столбцового ранга матрицы. Их эквивалентность.
Ранг системы столбцов - столбцовая база.
Ранг системы строк - строчечная база.
Т. Строчечные и столбцовые ранги матрицы простейшего вида равны.
a[j]=(a[1,j],...,a[r,j],0,...,0)=a[1,j]e[1]+...+a[r,j]e[r].
Т. Пусть матрица A'=(a'[1],...,a'[n]) получена из матрицы A=(a[1],...,a[n]) серией элементарных преобразований ее строк. Если (a[j,1],...,a[j,r]) - столбцовая база матрицы A, то (a'[j,1],...,a'[j,r]) - столбцовая база матрицы А'.
Док-во: Докажем, что система a'[j,1],...,a'[j,r] - л.н. Т.к. система a[j,1],...,a[j,r] л.н., то система линейных уравнений (рассмотренная относительно переменных alfa[1],...,alfa[r])
alfa[1]a[j,1]+...+alfa[r]a[j,r]=0 имеет едитственное (нулевое) решение.
С матрицей этой системы осуществим те же преобразования, что и с матрицей А. Очевидно, что получим систему
alfa'[1]a[j,1]+...+alfa'[r]a[j,r]=0.
Эта система эквивалентна предыдущей, поэтому она имеет нулевое решение, что означает линейную независимость векторов a'[j,1],...,a'[j,r].
Теперь покажем, что для произвольного j вектор a'[j] л.в. через a'[j,1],...,a'[j,r].
alfa[1]a[j,1]+...+alfa[r]a[j,r]=a[j] совместна, поэтому будет совместной система
alfa[1]a'[j,1]+...+alfa[r]a'[j,r]=a'[j], полученная путем элементарных преобразований.
Следствия: При элементарных преобразованиях строк столбцовый ранг не меняется. При элементарных преобразованиях столбцов строчечный ранг не меняется.
Т. Строчечный и столбцовый ранги произвольной матрицы совпадают.
Док-во: любую матрицу можно привести к простейшему виду с сохранением строчечных и столбцовых рангов. Для простейшего вида ранги будут равны, а значит и для исходного вида - тоже.