БИЛЕТ 34. Прямая сумма подпространств. Критерий прямой суммы.
Сумма V1+v2+...Vs наз. прямой, если для произвольного вектора x из этой суммы векторы x[1],...,x[s] такие, что x=x[1]+..+x[s] (где каждый вектор взят из соответствующего подпространства) определяются однозначно. Такое представление вектора x называется разложение по подпространствам.
Т. Единственность разложения "o".
Для того, чтобы сумма была прямой, необходимо и достаточно, чтобы из условий o=x[1]+..+x[s] следовало, что x[i]=o (для всех i).
Необходимость: следует из определения прямой суммы.
Достаточность: пусть нашлось в разложения. переносим в одну сторону. "o" раскладывается единственным образом.
Т. Критерий прямой суммы.
Для того чтобы сумма была прямой, необходимо и достаточно, чтобы dim(V1+...+Vs)=dim(V1)+...+dim(Vs).
Док-во:
Рассмотрим систему (A), состоящую из базисов всех пространств.
a[1,1]...a[1,n1]
a[2,1]...a[2,n2]
..............
a[s,1]...a[s,ns]
Необходимость: Для доказательства теоремы покажем, что для того, чтобы сумма была прямой, необходимо и достаточно, чтобы совокупная система А образовывала базис этой суммы.
Легко видеть, что А - полная. Докажем ее л.н.
Пусть SIGMA[j=1..n1](alfa[1,j]a[1,j])+...+SIGMA[j=1..ns](alfa[s,j]a[s,j])=o.
Проинтерпретируем приведенное равенство как разложение "o" по подпространствам. Т.к. сумма подпространств прямая, то разложение единственно, и поэтому все эти SIGMA равны "о". Векторы из каждой приведенной линейной комбинации образуют базис, поэтому все коэффициенты равны нулю. Итак, линейная комбинация тривиальная.
Достаточность: Для док-ва достаточности воспользуемся леммой. Для этого докажем, чтоб если система A-л.н., то разложение "o" по подпространствам определяется единственным образом. Действительно, в противном случае найдутся такие векторы а[i], что
o=a[1]+...+a[s], где каждый вектор из соотв. пространства и a[i']<>o для некоторого i'. Каждый вектор a[i] разложим по базису a[i,1],..,a[i,ni].
o=SIGMA[j=1..n1](alfa[1,j]a[1,j])+...+SIGMA[j=1..ns](alfa[s,j]a[s,j]).
В приведенной линейной комбинации найдутся ненулевые коэффициенты (среди чисел alfa[i',1],...,alfa[i',ni']), поэтому система А-л.з., что противоречит.
Определение проекции: пусть линейное пространство раскладывается в прямую сумму подпространств V=V1+V2. Тогда для произвольного x из V определяются единственным образом векторы y из V1 и z из V2 такие, что x=y+z. Вектор y называется проекцией вектора x на подространство V1 параллельно V2.