БИЛЕТ 32. Изоморфизм лин. пространств. Критерий изоморфности.
Пусть пространства V и V' заданы над одним и тем же полем F. Биекция fi: V -> V' наз. изоморфизмом, если для любых векторов из V и любого alfa из F верно:
1) fi(a+b)=fi(a)+fi(b).
2) fi(alfa*a)=alfa*fi(a).
Свойства:
1) Отображение, обратное изоморфному - изоморфизм.
2) Образом нулевого вектора в пространстве V при изоморфизме является нулевой вектор пространства V', т.е. fi(o)=o.
3) л.з. отображается в л.з.
4) л.н. отображается в л.н. (следствие свойств 1 и 3).
5) базис - в базис.
Док-во: по свойству 4 базис отображается в л.н. систему. при этом по св-ву 3 любая л.з. система отображается в л.з. систему. Таким образом, базис отображаемтся в наибольшую л.н. систему, т.е. в базис.
6) Отношение изоморфности является отношением эквивалентности.
Док-во: Рефлексивность - пространство изоморфно самому себе.
Симметричность - см. св-во 1.
Транзитивность. Докажем, что если V~=V', V'~=V'' то v~=V''. Действительно, если fi и fi' - изоморфизмы из V в V' и из V' в V'', что произведение изоморфизмов psi=fi*fi', определяемой формулой psi(a)=fi(fi'(a)) есть изоморфизм V в V''.

Критерий изоморфности.
Для того, чтобы пространства V и V', заданные над одним и тем же полем, были изоморфны, необходимо и достаточно, чтобы dim(V)=dim(V').
Необходимость: следует из св-ва 5.
Достаточность: т.к. V~=F^n, V'~=F^n, то в силу отношения эквивалентности имеем V~=V'.